Les caractères de position d'une série statistique servent à résumer le profil de cette série statistique. Parmi ces caractères, on retient :
La médiane d'une série statistique, que l'on note généralement M, est une valeur de la variable étudiée qui partage la liste des valeurs ordonnées en deux groupes de même effectif. Cependant, cette définition souffre de quelques faiblesses comme nous allons le voir dans les exemples suivants.
Prenons la série de notes obtenues par 15 étudiants de BTS à une épreuve de mathématiques :
3 ; 5 ; 5 ; 7 ; 8 ; 8 ; 8 ; 9 ; 10 ; 10 ; 10 ; 10 ; 12 ; 15 ; 17 .Dans ce cas, la médiane est la note 9, puisque cette valeur partage la série en deux groupes comportant chacun 7 notes : le premier contient en effet 7 notes inférieures à 9 et le second 7 notes supérieures à 9.
Rajoutons maintenant à cette série de notes une 16 ème note valant 3. La nouvelle série de notes est donc :
3 ; 3 ; 5 ; 5 ; 7 ; 8 ; 8 ; 8 ; 9 ; 10 ; 10 ; 10 ; 10 ; 12 ; 15 ; 17 .Dans ce cas, tous les nombres de l'intervalle [8 ; 9] qu'on appelle intervalle médian répondent à la définition de la médiane. En général, on choisit le centre de cet intervalle pour médiane. On aura donc pour cet exemple : M = 8,5.
Remplaçons maintenant pour finir la note 3 qui a été rajoutée auparavant par 9 et l'une des notes suivantes valant 10 également par 9. La série de notes devient alors :
3 ; 5 ; 5 ; 7 ; 8 ; 8 ; 8 ; 9 ; 9 ; 9 ; 10 ; 10 ; 10 ; 12 ; 15 ; 17 .Ici, on acceptera pour valeur de la médiane la note 9 même si cette valeur ne répond pas exactement à la définition. En effet, 9 partage la série en deux groupes d'effectifs inégaux : 7 valeurs sont inférieures à 9 et 6 valeurs sont supérieures à 9.
La médiane d'une série statistique comportant un nombre impair de valeurs est la valeur du caractère occupant la position centrale dans la liste ordonnée des valeurs de la série. Ainsi, comme nous l'avons vu dans le 1er exemple, si la série comporte 15 valeurs, la médiane est la 8ème valeur de cette série.
La médiane d'une série statistique comportant un nombre pair de valeurs est la moyenne, c'est-à-dire la demi-somme des deux valeurs du caractère occupant les positions centrales dans la liste ordonnée des valeurs de la série. Par exemple, lorsque la série comporte 16 valeurs, la médiane est la demi-somme des 8ème et 9ème valeurs de cette série.
Reprenons l'exemple de la série des tailles d'élèves d'une classe, utilisée dans le cadre de la présentation des séries statistiques discrètes. On avait le tableau suivant :
| Valeur du caractère en cm | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 |
| Effectifs | 1 | 0 | 0 | 2 | 2 | 1 | 0 | 2 | 5 | 3 | 2 | 6 | 0 | 2 | 3 | 1 | 0 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Comme énoné dans la règle générale, la médiane est ici la 18ème valeur : en cumulant alors les effectifs indiqués dans le tableau jusqu'à arriver à 18, on obtient donc : M = 174.
Dans ce cas, il est nécessaire d'indiquer dans le tableau des valeurs de la série les effectifs cumulés croissants. Cela permet de déterminer dans un premier temps la classe médiane, c'est-à-dire la classe où se situe la valeur de la médiane. On détermine ensuite cette valeur de manière plus précise en procédant par interpolation linéaire.
Considérons l'exemple suivant, où sont données les tailles en cm d'une population de 100 personnes, réparties en classes d'amplitude 5 cm :
| Valeur du caractère | [160 ; 165[ | [165 ; 170[ | [170 ; 175[ | [175 ; 180[ | [180 ; 185[ | [185 ; 190[ |
| Effectifs | 12 | 25 | 7 | 28 | 20 | 8 |
La série comportant 100 valeurs, la médiane est la valeur de la taille qui correspond à un effectif cumulé de 50. Calculons alors les effectifs cumulés associés à cette série. On obtient le tableau suivant :
| Valeur du caractère | <165 | <170 | <175 | <180 | <185 | <190 |
| Effectifs | 12 | 37 | 44 | 72 | 92 | 100 |
Compte tenu de ces résultats la médiane se situe dans la classe [175 ; 180[. Pour obtenir sa valeur précisément, on suppose que les valeurs sont réparties de manière homogène dans chaque classe, c'est-à-dire régulièrement à l'intérieur de chaque intervalle, et on utilise une règle de proportionnalité.
Dans la classe [175 ; 180[, donc sur une amplitude de 5 cm, l'effectif est de 28. La médiane M se situe entre 175 et 180, à la valeur de l'effectif cumulé 50, donc entre 175 et M, soit sur une amplitude de M - 175, l'effectif est de 50 - 44 soit de 6. On peut d'ailleurs rassembler ces constatations dans un tableau de proportionnalité :
| Amplitudes | 5 | M - 175 |
| Effectifs | 28 | 6 |
On obtient alors la valeur de M par un simple calcul de proportionnalité :
28 × (M - 175) = 6 × 5 d'où M = 176,1 cm.On a choisi volontairement dans cet exemple un effectif total de 100. Lorsque ce n'est pas le cas, il est préférable d'utiliser les fréquences cumulées croissantes, plutôt que les effectifs. La médiane est donc la valeur correspondant à la fréquence cumulée de 50%.
Rappelons que les fréquences s'obtiennent en divisant les effectifs par l'effectif total de la série statistique. Une valeur approchée de la médiane peut aussi s'obtenir graphiquement à l'aide du polygone des effectifs cumulés croissants ou du polygone des fréquences cumulées croissantes.
Les quartiles d'une série statistique, que l'on note généralement Q1, Q2, Q3 sont trois valeurs de la variable étudiée qui partagent la liste des valeurs ordonnées en quatre groupes de même effectif. On remarquera aisément que Q2 = M.
Dans la pratique, pour obtenir le premier quartile Q1, on prend la valeur dont le rang est l'arrondi supérieur du quart de l'effectif total de la série et pour obtenir le troisième quartile Q3, on prend la valeur dont le rang est l'arrondi supérieur des trois quarts de l'effectif total de la série.
Reprenons la série de notes obtenues par 15 étudiants de BTS utilisée pour illustrer la définition de la médiane :
Dans cet exemple, le quart de l'effectif est : 15/4 = 3,75. L'arrondi supérieur de 3,75 est 4. Donc Q1 est la 4ème valeur de la série, c'est-à-dire 7. De même, les trois quarts de l'effectif valent : 3 x 15/4 = 11,25. L'arrondi supérieur de 11,25 est 12. Donc Q3 est la 12ème valeur de la série, c'est-à-dire 10.
On utilise ce tableau de la même façon que pour la détermination de la médiane, en appliquant les règles propres aux quartiles énoncées ci-dessus.
Reprenons l'exemple des tailles de 35 élèves d'une classe utilisé lors de la présentation des séries discrètes. On avait le tableau suivant :
| Valeur du caractère en cm | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 |
| Effectifs | 1 | 0 | 0 | 2 | 2 | 1 | 0 | 2 | 5 | 3 | 2 | 6 | 0 | 2 | 3 | 1 | 0 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Le 1er quartile est la 9ème valeur, puisque 9 est l'arrondi supérieur du quart de 35. En cumulant les effectifs jusqu'à arriver à 9, on obtient : Q1 = 172. De même, le 3ème quartile est la 27ème valeur, car 27 est l'arrondi supérieur des trois-quarts de 35. On obtient alors : Q3 = 178.
On applique dans ce cas la même méthode que dans le cadre du calcul de la médiane, en remplaçant pour les effectifs cumulés correspondants la moitié de l'effectif total par le quart pour le 1er quartile et par les trois-quarts pour le 3ème quartile, ou en remplaçant 50% respectivement par 25% et 75% lorsqu'on utilise les fréquences cumulées croissantes.
On peut également déterminer les valeurs des quartiles graphiquement à l'aide du polygone des fréquences cumulées croissantes.
Les déciles d'une série statistique, que l'on note généralement D1, D2,..., D9 sont des valeurs de la variable étudiée qui partagent la liste des valeurs ordonnées en dix groupes de même effectif. On ne s'intéresse généralement qu'aux premier et neuvième déciles, c'est-à-dire D1 et D9.
Les déciles ne présentent d'intérêt que pour les séries statistiques comportant un nombre important de valeurs.
Dans la pratique, pour obtenir le premier décile D1, on prend la valeur dont le rang est l'arrondi supérieur du dixième de l'effectif total de la série et pour obtenir le dernier décile D9, on prend la valeur dont le rang est l'arrondi supérieur des neuf dixièmes de l'effectif total de la série.
Par exemple, si une série statistique comporte 235 valeurs, le premier décile D1 sera la 24ème valeur et le dernier décile D9 sera la 212ème valeur car 24 est l'arrondi supérieur de 235/10 et 212 est l'arrondi supérieur de 9 x 235/10.
Reprenons la série de notes obtenues par 15 étudiants de BTS utilisée pour illustrer la définition de la médiane et des quartiles ; bien que cette série comporte un nombre restreint de valeurs, il est tout à fait possible de calculer ses déciles. Cette série comporte les valeurs :
Dans cet exemple, le dixième de l'effectif est : 15/10 = 1,5. L'arrondi supérieur de 1,5 est 2. Donc D1 est la 2ème valeur de la série, c'est-à-dire 5. De même, les neuf dixièmes de l'effectif valent : 9 x 15/10 = 13,5. L'arrondi supérieur de 13,5 est 14. Donc D9 est la 14ème valeur de la série, c'est-à-dire 15.
On procède comme pour les quartiles en utilisant les règles concernant les déciles exposées ci-dessus.
La méthode détaillée dans le cas du calcul de la médiane s'applique encore ici en remplaçant 50% par 10 ou 90%.
La moyenne d'une série statistique est le quotient de la somme des valeurs par le nombre n de valeurs. Lorsque certaines de ces valeurs se répètent, on peut les regrouper et leur affecter un coefficient qui correspond au nombre de fois où la valeur en question se répète. Lorsque les valeurs de la variable étudiée sont regroupées en classes, c'est-à-dire lorsqu'on a une série statistique continue, on remplace chaque classe par son centre.
Par conséquent :
Reprenons la série de notes obtenues par 15 étudiants de BTS utilisée pour illustrer la définition de la médiane , des quartiles et des déciles :
Pour calculer la moyenne de cette série de notes,
il suffit
donc de les ajouter toutes les quinze, puis de diviser le total obtenu
par 15.
On obtient :
Donc la moyenne vaut :
Calculons à présent la moyenne de la série des tailles de 35 élèves d'une classe présentée dans le cadre des séries statistiques continues. La répartition des tailles est la suivante :
| Valeur du caractère | [160 ; 165[ | [165 ; 170[ | [170 ; 175[ | [175 ; 180[ | [180 ; 185[ | [185 ; 190[ |
| Effectifs | 12 | 25 | 7 | 28 | 20 | 8 |
Sachant qu'on remplace chaque classe par son centre, la moyenne de cette série est :
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