Vous avez vu en classe de première que le signe de la fonction dérivée d'une fonction f permet d'obtenir le sens de variation de la fonction f. Ceci s'exprime par le théorème suivant :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Si f reste positive sur I, c'est-à-dire si f'(x) est positif pour tout x élément de I, en s'annulant éventuellement en un nombre fini de réels de I, alors f est strictement croissante sur I.
De manière similaire, si f reste négative sur I, c'est-à-dire si f'(x) est négatif pour tout x élément de I, en s'annulant éventuellement en un nombre fini de réels de I, alors f est strictement décroissante sur I.
Enfin, si f est constamment nulle sur I, c'est-à-dire si f'(x) = 0 pour tout x élément de I, alors f est constante sur I.
Qu'entend-on par "en s'annulant éventuellement en un nombre fini de réels de I"?
Cela signifie que f'(x) est toujours de signe constant pour tout x élément de I, soit encore que f'(x)>0 pour tous les réels x de I ou éventuellement presque tous les réels de x, f'(x) étant nul pour les valeurs de x pour lesquelles il n'est pas strictement positif.
Considérons par exemple la fonction définie sur IR par f(x) = x3. Sa fonction dérivée est la fonction définie sur IR par f'(x) = 3x2.
Cette fonction reste toujours positive sur IR et s'annule pour x = 0. On peut donc dire d'après le théorème précédent que f est strictement croissante sur IR car sa dérivée reste positive sur IR et s'annule en un nombre fini (une seule) de valeurs de IR.
On désigne par extremum d'une fonction f sur un intervalle donné un maximum ou un minimum de f sur cet intervalle. L'existence d'extremum est encore liée à la dérivée de f, comme l'indique le théorème suivant :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x0 un réel de I. Si f admet un extremum en x0, alors f'(x0)= 0.
Par contre la réciproque de ce théorème n'est pas vrai. Il se peut que f' s'annule en une valeur particulière de I sans pour autant que f présente un extremum en cette valeur. Cela provient en effet du théorème précédent concernant le sens de variation d'une fonction.
Reprenons la fonction définie sur IR par f(x) = x3. Nous avons vu que sa dérivée s'annule en 0. Pourtant la fonction f est strictement croissante sur IR donc n'admet aucun extremum sur IR. Cette remarque nous amène à énoncer le théorème suivant qui permet en fait d'avoir la réciproque qui n'était pas permise auparavant :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x0 un réel de I. f admet un extremum en x0 si et seulement si f' s'annule et change de signe en x0.
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