Nous avons déjà vu que le coefficient directeur de la tangente à la courbe d'une fonction f en un point d'abscisse a est aussi le nombre dérivé de f en a, soit encore f'(a).
Comme toute équation de droite, à l'exception des droites parallèles à l'axe des ordonnées, est de la forme y = mx + p, nous pouvons donc affirmer que l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour expression y = f'(a)x + p, et il nous reste à trouver le réel p.
Puisque la droite est tangente à la courbe de f au point d'abscisse a, elle passe donc par le point de coordonnées (a ; f(a)). Les coordonnées de ce point vérifient donc l'équation de la droite, c'est-à-dire : f(a) = f'(a)a + p d'où p = f(a) - af'(a).
En reportant dans l'équation générale, on obtient donc : y = f'(a)x + f(a) - f'(a)a, ce qui peut encore s'écrire : y = f'(a)(x - a) + f(a).
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