Dans le cadre de l'étude de la fréquence de succès d'échantillons de même taille, on constate par simulation, en augmentant la taille des échantillons, que l'écart entre les valeurs prises par la variable aléatoire représentant la fréquence de succès et p devient de plus en plus petit.
Cela signifie en fait que les valeurs de la variable aléatoire représentant la moyenne de n variables aléatoires indépendantes de même espérance m se rapprochent indéfiniment de m lorsque n devient de plus en plus grand.
Exprimé en termes de probabilités, comme dans la conclusion de ce théorème, cela se traduit par le fait que l'événement "l'écart entre la variable aléatoire représentant la moyenne et m est infiniment petit" est l'événement certain. Ce théorème porte le nom de loi faible des grands nombres.
Lorsque la variable aléatoire représente la fréquence d'apparition du succès dans un échantillon de taille n, cette loi s'exprime par :
Dans ce cas, la loi faible des grands nombres indique que la fréquence d'apparition du sucès se stabilise autour de la probabilité du succès lorsque le nombre de tirages indépendants devient très grand.
Reprenons l'étude réalisée lors de l'introduction à la moyenne d'échantillons de même taille. L'expérience consiste cette fois à choisir n objets parmi les 5 objets disponibles et on considère la variable aléatoire qui à chaque écahntillon de taille n associe la moyenne des coûts de ces n objets.
Si l'on détermine la loi de probabilité de cette variable aléatoire, et que l'on représente cette loi par un diagramme en bâtons où l'on associe à chaque valeur x de la variable en abscisse la probabilité que cette variable aléatoire prenne la valeur x en ordonnée, on constate que lorsque n devient très grand, les sommets des bâtons semblent se positionner sur une courbe de Gauss : c'est le théorème de la limite centrée qui suit et que l'on admettra.
On utilise généralement cette approximation lorsque n est supérieur à 30, et on dit dans ce cas qu'on se situe dans le cadre de la théorie des grands échantillons.
Ce théorème est le résultat le plus important concernant l'écahantillonnage : il sera utilisé chaque fois que l'on aura à traîter d'une situation concernant des échantillons.
Par exemple, considérons un atelier qui produit des disques abrasifs en grande série et notons X la variable aléatoire qui, à chaque disque prélévé au hasard dans la production, associe son diamètre. On suppose que X suit une loi de probabilité d'espérance mathématique, ou encore de moyenne 50 et d'écart type 0,5. On prélève alors au hasard des échantillons non exhaustifs, c'est-à-dire que le tirage ainsi opéré est considéré comme un tirage avec remise, de 36 disques.
On note Y la variable aléatoire qui, à chaque échantillon, associe la moyenne des diamètres des 36 disques. La taille des échantillons est suffisamment grande pour que l'on applique le théorème de la limite centrée, et on peut donc affirmer que Y suit la loi normale de moyenne 50 et d'écart type 0,5/6.
Par conséquent, lorsque n sera suffisamment grand, on pourra remplacer une loi binomiale par une loi normale, ce qui simplifiera considérablement les calculs.
Dans la pratique, on se permet d'utiliser cette approximation lorsqu'on a, à la fois, np > 15 et nq > 15. Ces résultats n'ont toutefois pas à être mémorisées : chaque fois qu'une approximation d'une loi binomiale par une loi normale est possible, elle est clairement indiquée dans l'énoncé.
Toutefois, cette approximation doit être effectuée avec certaines précautions car la loi binomiale est une loi discrète alors que la loi normale est une loi liée à une variable aléatoire continue.
Par conséquent, on sait que pour une variable aléatoire continue, des probabilités du type P(X = a) avec a réel sont nulles, ce qui n'est pas le cas pour des lois discrètes.
Pour pallier à ce problème, on utilise alors le procédé de correction de continuité.
Prenons une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale B(50 ; 0,6). X est une variable aléatoire discrète qui prend toutes les valeurs entières comprises entre 0 et 50. On a par exemple :
Alors on doit avoir : P(Y = 30) = 0, ce qui n'est pas le cas pour P(X = 30). Pour éviter ce problème entre P(X = 30) et P(Y = 30), on applique donc la correction de continuité : puisque X ne prend que des valeurs entières, on peut écrire : P(X = 30) = P(29,5 < X < 30,5) On peut alors remplacer X par Y et on obtient :
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