On considère une urne contenant 100 boules numérotées de 1 à 100 indiscernables au toucher. Notons p la probabilité d'obtenir une boule portant un numéro inférieur ou égal à 37 lors d'un tirage d'une boule. On a : p = 0,37. On appellera succès l'obtention d'une boule portant un numéro inférieur ou égal à 37. Un écahntillon de taille 20 est obtenu par tirage avec remise de 20 boules et on s'intéresse à la fréquence de succès lors du tirage de ces 20 boules.
Cette fréquence est égale au quotient du nombre de boules portant un numéro inférieur ou égal à 37 par 20. Nous allons alors introduire la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille 20 associe sa fréquence de succès à l'aide de variables aléatoires de Bernoulli.
En effet, il suffit d'appliquer le théorème concernant l'espérance mathématique et l'écart type d'une variable aléatoire représentant une moyenne avec les 20 variables de Bernoulli et avec n = 20.
Ce résultat est en fait un cas particulier du
théorème donnant
l'espérance mathématique et l'écart
type d'une variable
aléatoire
représentant une moyenne avec m = p et 
On peut adapter ce théorème à une population contenant une proportion p d'individus présentant un certain caractère. Dans ce cas :
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