Considérons dans un premier temps cette situation qui nous amènera à élaborer des résultats sur des échantillons de taille 2. Alice veut faire un cadeau à deux de ses amis Pierre et Jacques. Elle dispose pour cela de 5 objets notés a, b, c, d et e qui coûtent respectivement 10, 12, 20, 20 et 22 €.
Soit l'expérience qui consiste à choisir au hasard un cadeau et X la variable aléatoire qui à chaque cadeau associe son coût. La loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :
Valeurs de k 10 12 20 22L'espérance mathématique de X est :
Sa variance vaut : V(X) = 23,36 et son écart type vaut environ 4,83.
Soit maintenant l'expérience qui cette fois à choisir au hasard deux cadeaux, éventuellement identiques. Il s'agit donc d'un tirage avec remise, les deux amis pouvant recevoir le même cadeau.
On suppose donc qu'Alice possède pour chaque objet un deuxième exemplaire. Chaque couple de cadeaux est appelé échantillon non exhaustif, car il peut y avoir répétition, de taille 2.
Il y a donc 5 x 5 = 25 échantillons possibles.
On a évidemment, par définition d'une moyenne :
D'autre part :
Déterminons l'espérance mathématique, la variance et l'écart type de chacune de ces trois variables aléatoires. On obtient évidemment pour les deux premières :
Pour la variable aléatoire représentant la moyenne des coûts des deux cadeaux, on obtient :
Ce résultat obtenu à partir de deux variables aléatoires peut se généraliser à n variables aléatoires indépendantes ce qui nous donne le théorème qui suit.
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