La fonction logarithme népérien, notée ln, est l'unique primitive sur ]0 ; +oo[ de la fonction inverse définie sur ]0 ; +oo[ par : f(x) = 1/x qui s'annule en 1. Par définition d'une primitive, sa dérivée sur ]0 ; +oo[ est donc la fonction inverse. Autrement dit, pour tout x élément de ]0 ; + oo[ : ln'(x) = 1/x. La dénomination de cette fonction provient du nom du mathématicien anglais John Napier, dit Néper, qui l'a popularisée. Le grand intérêt de cette fonction, comme nous le verrons dans le rappel de ses propriétés, est de transformer des produits en sommes, ce qui permettait de simplifier considérablement les calculs numériques à une époque où les calculatrices n'existaient pas encore.
La fonction ln est définie sur ]0 ; + oo[. On admettra que sa limite en 0 est - oo et que sa limite en + oo est + oo. On sait que sa fonction dérivée esr la fonction inverse, toujours strictement positive sur ]0 ; +oo[, ce qui signifie que la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +oo[. Par définition, ln s'annule en 1, soit ln(1) = 0.
La représentation graphique de la fonction ln est la suivante :
On remarquera que cette courbe figurant en bleue sur le graphique est symétrique de celle de la fonction exponentielle par rapport à la droite d'équation y = x.
Pour toutes ces propriétés, a et b désignent deux réels strictement positifs et n est un entier non nul. On a :
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