Visuellement, une asymptote à une courbe est une droite qui semble s'approcher indéfiniment de cette courbe, lorsqu'on s'éloigne indéfiniment sur cette droite :
L'existence d'une asymptote dépend des limites de la fonction représentée par la courbe aux bornes de son ensemble de définition.
Les différents cas d'existences d'asymptotes sont indiqués ci-dessous.
La position d'une courbe par rapport à son asymptote se détermine à l'aide de l'étude du signe de :
Lorsque f(x) - l (ou f(x) - [ax + b] est strictement positif, la courbe se trouve au-dessus de l'asymptote.
Lorsque f(x) - l (ou f(x) - [ax + b] est strictement négatif, la courbe se trouve en dessous de l'asymptote.
Soit la fonction f définie par f(x) = (x-1) /(x+1). La limite de f en +oo vaut 1. Donc la courbe représentative C de f admet la droite d d'équation y = 1 pour asymptote horizontale au voisinage de +oo.
Calculons f(x) - 1. On obtient f(x) - 1 = (x-1)/(x+1) - 1 = (x-1)/(x+1) - (x+1)/(x+1) = -2/x+1. La position de C et de d dépend du signe de -2/(x+1). Ce nombre est strictement positif sur ]-oo ; -1[ et strictement négatif sur ]-1 ; +oo[.
Par conséquent, C est en dessous de d sur ]-1 ; +oo[ et au-dessus de d sur ]-oo ; -1[.
Copyright "Mathtecsup" 2010, tous droits réservés
