Lorsqu'on constate une proportionnalité entre le nombre moyen d'apparition d'un événement et la durée ou l'espace, on dit que la variable aléatoire X, qui associe à chaque unité de durée ou d'espace fixée le nombre d'apparition de cet événement, suit une loi de Poisson de paramètre ce nombre moyen d'apparition par unité de durée ou d'espace.
Rappelons que 0! = 1. D'autre part, une situation faisant appel à la loi de Poisson est toujours explicitement indiquée dans le texte d'un exercice et n'est donc pas à reconnaître, comme cela peut être le cas pour une loi binomiale.
On peut encore faire le lien entre l'espérance mathématique et le nombre moyen de succès et remarquer que :
Dans certains cas, lorsque n est suffisamment grand et p proche de 0 ou de 1, les valeurs de probabilités obtenues pour la loi binomiale B(n ; p) sont très proches de celles obtenues avec la loi de Poisson P(np). Aussi on admet que la loi B(n ; p) peut être approchée par la loi P(np), ce qui facilite énormément les calculs puisque la formule de la loi de Poisson est beaucoup plus simple à mettre en oeuvre, surtout lorsque n devient grand.
On convient souvent de faire cette approximation pour n > 30 et np < 15, mais ces conditions ne sont pas à connaître. Lorsqu'on souhaite faire l'approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson, cela est clairement indiqué dans le texte de l'exercice. Il faut seulement retenir que le paramètre de la loi de Poisson servant d'approximation est obtenu en faisant le produit des paramètres de la loi binomiale que l'on souhaite approcher.
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