Bien que la notion de nombre dérivé ait été abordée en classe de lycée, et doit être supposée parfaitement maîtrisée à l'entrée en BTS, nous allons ici en redéfinir les grandes lignes afin d'en montrer à nouveau si besoin en est l'intérêt fondamental de cette notion pour toute la suite du programme d'Analyse.
Considérons une fonction f définie sur un intervalle I de IR dont on a construit la courbe représentative C dans un repère orthogonal du plan. Soit A un point de C d'abscisse a. Les coordonnées de A sont donc : A(a ; f(a)). Soit B un autre point de C qu'on souhaite relativement proche de A. On peut donc considérer que son abscisse peut s'écrire a + h, où h est un réel assez proche de 0. Les coordonnées de B sont donc : B(a + h ; f(a + h)). La droite (AB) a donc pour coefficient directeur : [f(a+h) - f(a)] / [(a+h) - a] soit [f(a+h) - f(a)] / h.
Lorsque h devient de plus en plus proche de 0, on constate intuitivement que la droite (AB) se rapproche de la tangente à la courbe C, et cette tangente est donc la position limite de la droite (AB). Son coefficient directeur est la limite quand h tend vers 0 du coefficient directeur de la droite (AB) écrit précédemment. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C est appelé nombre dérivé de f en a.
Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant le réel a. On appelle nombre dérivé d'une fonction f en un point a la limite quand h tend vers 0 du rapport [f(a+h) - f(a)] / h.
Ce nombre est noté f'(a) et est aussi le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.
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