L'introduction des nombres complexes dans le calcul algébrique est née de l'impossibilité d'attribuer des solutions à certaines équations algébriques, en particulier l'équation : x² + 1 = 0.
Cette équation se ramène en effet à : x² = - 1 et chacun sait que le carré d'un nombre réel est toujours positif.
Il est donc impossible de trouver un nombre réel x dont le carré soit égal à - 1.
Pour pouvoir poursuivre certains calculs algébriques, les mathématiciens ont donc décidé de construire un nouvel ensemble de nombres, contenant l'ensemble IR des nombres réels, un nouveau nombre très particulier dont le carré est curieusement égal à - 1 et tous les nombres obtenus en combinant ce nouveau nombre avec les nombres réels par addition et multiplication.
Ainsi est né l'ensemble C des nombres complexes, et le nombre i tel que i² = - 1. Notons que si i² = - 1, on peut considérer que i est la racine carrée de - 1. Toutefois cette traduction mathématique est à éviter et il ne faut surtout pas faire jouer à -1 le rôle d'un radicande, c'est-à-dire la quantité située sous le radical, symbole de la racine carrée dans l'ensemble des réels.
En effet, cette écriture poserait des problèmes quant au respect des propriétés de la racine carrée dans IR, qui ne seraient de ce fait plus vérifiées.
Dans le cadre du programme de mathématiques des groupements B, C et D, les nombres complexes serviront à résoudre des équations différentielles du second ordre à coefficients constants pour lesquelles l'équation caractéristique admet un discriminant négatif, et de ce fait des racines complexes et conjuguées.
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