Soit A et B deux événements d'une expérience aléatoire d'univers U, la probabilité de A étant non nulle. La probabilité que B soit réalisé sachant que A est réalisé, qu'on appelle encore plus simplement probabilité de B sachant A, est notée P(B / A) ou PA(B), et est définie par la relation :
Pour retenir facilement cette formule, il faut se souvenir que l'on divise la probabilité de l'intersection des deux événements par la probabilité de l'événement que l'on sait réalisé, c'est-à-dire l'événement qui figure à droite du symbole / dans l'écriture de l'événement soumis à condition B / A. Par exemple, la probabilité de A sachant B s'écrira :
Soit A et B deux événements d'une expérience aléatoire d'univers U tels que P(B) soit non nulle. On a : P(Ā / B) = 1 - P(A / B). En effet, les événements A n B et Ā n B sont incompatibles et leur réunion est B donc : P(B) = P(A n B) + P(Ā n B) En utilisant la définition des probabilités conditionnelles, on obtient alors :
D'autre part, comme on l'a déjà
constaté lors des exemples de présentation des
probabilités conditionnelles, et c'est d'ailleurs
à l'aide de cette propriété que l'on a
pu établir la définition d'une
probabilité conditionnelle :
Enfin, si B et C sont deux événements
incompatibles, on a :
Les raisonnemments et calculs de probabilités conditionnelles s'effectuent en utilisant la définition et les propriétés précédentes ainsi que la formule des probabilités totales. Cependant il existe une méthode qui facilite fortement de tels raisonnements : l'utilisation d'arbres pondérés de probabilités.
Reprenons l'exemple traité dans la page de présentation : une classe comporte 40% de filles dont 10% font de la musique.
Supposons que dans cette classe, 8% des
élèves
soient des garçons qui font de la musique. Si l'on note G
l'événement : "l'élève
choisi est un garçon", la probabilité de choisir
un élève qui fait de la musique sachant que c'est
un garçon s'écrira :
Ceci signifie donc que, parmi les garçons de cette classe, 2 sur 15 font de la musique et 13 sur 15 n'en font pas. Nous aurons l'occasion de traîter d'autres exemples et nous verrons dans les autres pages de cette section que l'on peut utiliser indifféremment la formule des probabilités totales ou les arbres pondérés de probabilités lorsque l'on a affaire aux probabilités conditionnelles.
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