Dans certaines situations de probabilités, il arrive que l'on dispose d'une information concernant la réalisation d'un événement particulier. La connaissance de cette information modifie alors la probabilité d'autres événements qui dépendent de l'événement dont on connaît la réalisation.Illustrons ce type de situation par deux exemples.
Une classe contient 40% de filles dont 10% font de la musique. Considérons l'expérience aléatoire qui consiste à choisir un élève au hasard dans cette classe.
Notons F l'événement : "l'élève choisi est une fille" et M l'événement : "l'élève choisi fait de la musique". On a donc dans un premier temps : P(F) = 0,4.
D'autre part, le rapport du nombre de filles qui font de la musique sur le nombre de filles est égal à 0,1. Ce rapport peut être considéré comme une probabilité pour laquelle l'univers de référence n'est plus la classe entière, mais seulement l'ensemble des filles de la classe.
Cette probabilité est appelée probabilité conditionnelle car le choix est limité à l'ensemble des filles. On écrit : P(M / F) = 0,1 ce qui se lit "la probabilité de M sachant que F est égale à 0,1".
On peut encore remarquer que si l'on multiplie le rapport du nombre de filles sur le nombre d'élèves de la classe par le rapport du nombre de filles qui font de la musique sur le nombre de filles, on obtient par simplification le rapport du nombre de filles qui font de la musique sur le nombre d'élèves de la classe.
En effet, en utilisant les cardinaux
d'événements, le nombre
de filles étant CardF, le nombre
d'élèves de la
classe étant CardU et le nombre de filles qui font de la
musique
étant Card(F n M), la formulation
précédente se traduit par
l'égalité :
Par définition des probabilités, on obtient donc :
p(F n M) = P(F) x P(M / F) ce qui donne la définition de la probabilité conditionnelle P(M / F).Considérons le lancer d'un dé parfaitement équilibré. On est donc sous l'hypothèse d'équiprobabilité des événements élémentaires de U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Soit les événements A : "le résultat est pair" et B : "le résultat est supérieur ou égal à 4".
On a : A = {2 ; 4 ; 6} et B = {4 ; 5 ; 6} . Par conséquent : P(A) = 3/6 = 1/2 et de même P(B) = 1/2.
A est réalisé si le résultat
est 2 , 4 , ou
6. Si A est réalisé, alors B est
réalisé dans deux de ces trois cas
équiprobables : lorsque le résultat
est 4 ou 6, c'est-à-dire lorsque A n B est
réalisé.
On dira alors que la probabilité de B sachant que A est
réalisé, ou plus simplement la
probabilité de B sachant A est 2/3.
On remarque de plus que cette probabilité est le quotient des probabilités de A n B et de A et on retouve la définition obtenue à la fin du 1er exemple.
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