Le théorème qui va suivre constitue l'une des bases fondamentales des probabilités conditionnelles. La formule des probabilités totales permet en effet de déterminer à partir de certaines probabilités d'événements fournies par l'énoncé concernant deux ou plusieurs événements, d'obtenir toutes les probabilités d'intersection et probabilités conditionnelles définies à partir de ces événements.
Cette formule s'adapte également à l'utilisation des arbres pondérés.
Considérons deux événements A et B d'une expérience aléatoire d'univers U. On sait que les événements A n B et Ā n B sont incompatibles, c'est-à-dire d'intersection vide, et leur réunion est B.
D'après la propriété de la probabilité de la réunion de deux événements, on a donc : P(B) = P(A n B) + P(Ā n B).
D'après la définition de la probabilité conditionnelle, on obtient donc : P(B) = P(A) x P(B/A) + P(Ā) x P(B/Ā).
Cette formule porte le nom de formule des probabilités totale.
Dans un atélier, on s'intéresse à deux machines a et b. La machine a fournit 80% des pièces dont 5% sont défectueuses. La machine b fournit 20% des pièces dont 4% sont défectueuses.
Une expérience consiste à choisir au hasard une pièce parmi la production journalière de cet atelier et on souhaite déterminer la probabilité qu'elle soit défectueuse.
On note A : " La pièce a été produite par la machine a", B : " La pièce a été produite par la machine b" et D : "La pièce est défectueuse".
On peut traduire les données en termes de probabilités. On a donc : P(A) = 0,8 ; P(B) = 0,2 ; P(D/A) = 0,05 ; P(D/B) = 0,04.
D'après la formule des probabilité totales, on peut écrire :
P(D) = P(A n D) + P(B n D)
= P(A)
x P(D/A) + P(B) x P(D/B)
= 0,8
x 0,05 + 0,2 x 0,04
= 0,048
Connaissant maintenant P(D), on peut aussi calculer, en utilisant la définition de la probabilité conditionnelle, la probabilité que la pièce ait été produite par la machine a sachant qu'elle est défectueuse, et la probabilité que la pièce ait été produite par la machine b sachant qu'elle est défectueuse.
On obtient alors :
P(A/D) = P(D n A) : P(D)
= P(A) x
P(D/A) : P(D)
= 0,8 x
0,05 : 0,048
= 0,833
De même, P(B/D) = 0,2 x 0,04 : 0,048
= 0,167
Remarquons que ces deux événement sont complémentaires : en effet, si la pièce est défectueuse, elle provient soit de la machine a, soit de la machine b.
On aurait pu alors aussi écrire : P(B/D) = 1 - P(A/D).
On considère cette fois un atelier disposant de trois machines notées a, b et c.La machine a fournit 30% des pièces dont 5% sont défectueuses. La machine b fournit 20% des pièces dont 4% sont défectueuses et la machine c fournit 50% des pièces dont 8% sont défectueuses.
Une pièce est prélevée au hasard dans la production de l'ateier. On note A : " La pièce a été produite par la machine a" ; B : " La pièce a été produite par la machine b" ; C : " La pièce a été produite par la machine c" et D : "La pièce est défectueuse".
Compte tenu des informations fournies, on a : P(A) = 0,3 ; P(B) = 0,2 ; P(C) = 0,5 ; P(D/A) = 0,05 ; P(D/B) = 0,04 et P(D/C) = 0,08.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
P(D) = P(A) x P(D/A)
+ P(B) x P(D/B) + P(C) x
P(D/C)
= 0,3
x 0,05 + 0,2 x 0,04 + 0,5 x 0,08
=
0,063.
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